有没有结果含有“π”但是与圆完全无关的问题？
2022-12-25
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这种情况非常多，随便举几个例子。
∑n⁻²=1/1²+1/2²+1/3³+…=π²/6。
这个是著名的巴塞尔问题，是18世纪天才数学家欧拉解决的，证明非常漂亮，用sin(x)做母函数，麦克劳林展开，以及把代数基本定理（严格的说当时尚未完成严谨证明）推广到无穷次幂函数。
等概率任取两个自然数，互质的概率是多少？
6/π²！惊人不？
这当然也是欧拉大神的杰作，是上述巴塞尔问题的推论 光这个推论部分的证明就很精彩了。
∫e^-x²在±∞定积分=√(2π)，这是高斯分布（正态分布），顾名思义是另一个天才数学家高斯的成果，升维到二重积分并换元极坐标计算（这也是常用技巧了）。
∫sin(x)/x在±∞定积分=π，这也用到升维二重积分，特别是用复数代替三角函数会异常简单。
0.5！=(√π)/2，这个首先涉及到阶乘运算（!）的解析延拓，这又是欧拉大神的贡献，具体计算则引用到上述高斯分布的计算。
e^iπ+1=0，欧拉公式的特殊形式。
这就不用多说了吧。
Youtube上一个相当出名的网红问题：一个绝对光滑轨道上竖一面绝对弹性的墙，旁边一个静止的1kg小球，远处用一个大球滑过来撞击，小球将在墙和大球之间反复碰撞若干次直到赶不上大球逃逸速度。
当大球也是1kg时，撞击3次，当大球100kg时，撞击31次，10000kg时撞击314次，100万kg则3141次，1亿kg则31415次，… 没错，大球质量每翻100倍，撞击次数就是π多数一位。
