弦切角定理的6种证明方法？
2023-09-05
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连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。）
而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。）
由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。）
(2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。）
由射影定理有AC2=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC2=AB*AD。）
第一题重新证明如下：）
首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA 。）
连接OA、OC、BC，则有）
∠ACD+∠ACO=90°）
=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)）
=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)）
=∠ACO+(1/2)∠AOC,）
所以∠ACD=(1/2)∠AOC，）
而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，）
得∠ACD=∠CBA 。）
另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，）
所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。
