微积分的本质是解决什么问题？

黎曼积分和勒贝格积分的前置基础知识可查看如下文章微积分的历程：从牛顿到勒贝格 牛顿篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/558966021微积分的历程：从牛顿到勒贝格 莱布尼茨篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/558981213微积分的历程：从牛顿到勒贝格 伯努利兄弟篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/55微积分的历程：从牛顿到勒贝格 欧拉篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/55微积分的历程：从牛顿到勒贝格 第一次波折 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/55微积分的历程：从牛顿到勒贝格 柯西篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/55微积分的历程：从牛顿到勒贝格 黎曼篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/55微积分的历程：从牛顿到勒贝格 刘维尔篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/55微积分的历程：从牛顿到勒贝格 魏尔斯特拉斯篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/55微积分的历程：从牛顿到勒贝格 第二次波折 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/55微积分的历程：从牛顿到勒贝格 康托尔篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/55微积分的历程：从牛顿到勒贝格 沃尔泰拉篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/55微积分的历程：从牛顿到勒贝格 贝尔篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/55微积分的历程：从牛顿到勒贝格 勒贝格篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/559968800作者： 刘松 安徽大学 数学科学学院黎曼积分对于处理诸如逐段连续函数以及一致收敛的级数来说是足够的，然而黎曼积分还存在着较大的缺陷：黎曼积分是以“基本上”连续的函数为研究对象，从而黎曼可积的函数太少；积分与极限可交换的条件太苛刻，需用函数列的一致收敛条件来保证极限与积分运算的次序可交换；积分运算不完全是微分运算的逆运算等。

随着人们对积分理论的深入研究，发现积分问题与函数的下方图形—点集的面积有关，Jordan在1982年建立了Jordan可测集理论。

然而Jordan的测度理论存在着严重的缺陷，如有理数集不可测、存在不可测的开集等。

Borel在1898年从开集出发构造了σ-代数，使得所有由开集生成的点集均可测，而且他的测度理论还具有可数可加性。

但是 Borel没有把他的测度论和积分理论联系在一起。

目前，在应用上最广泛的测度和积分是法国数学家Lebesgue提出的，1902年，他在博士论文“积分、 长度与面积”中提出的思想成为古典分析过渡到近代分析的转折点。

Lebesgue 积分理论是在Lebesgue测度论上建立起来的关于可测函数的积分理论，这一理论可以统一处理有界函数和无界函数的积分。

同时Lebesgue还指出了Lebesgue可测集和Borel可测集的关系，且存在Lebesgue不可测集。

Lebesgue积分不仅蕴含了黎曼积分所达到的成果，而且还在较大程度克服了黎曼积分的局限性。

从两种积分的的定义知，黎曼积分是对函数的定义域划分，勒贝格积分是对函数的值域划分，这是勒贝格积分与黎曼积分的本质区别。

黎曼积分的优点是划分后的小区间长度容易给出，但是函数在其上的振幅可能较大，从而使得很多函数是黎曼不可积的；而勒贝格积分的优点是函数在Ek上的振幅一定不超过划分的细度，因此可测集上的有界函数都是勒贝格可积的，勒贝格积分在很大程度上扩大了可积函数类。

这一点点差别，使得勒贝格积分具有一些黎曼积分所没有的良好性质。

勒贝格积分理论是在勒贝格测度理论的基础上建立的，这一理论可以统一处理函数有界与无界的情形，而且被积函数也可以定义在更一般的点集上。

黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性可积函数的连续性黎曼积分的局限性表现在黎曼可积函数太少，黎曼可积函数是区间[a,b]上“基本上”连续的函数。

例如dirichlet函数在[0,1]上处处不连续，从而D(x)是黎曼不可积。

但是D(x)＝０几乎处处于 [0,1] ，所以D(x)是勒贝格可积的，且其勒贝格积分等于零。

f(x) 在[a,b]上黎曼可积的充分必要条件是f(x)在[a,b]上不连续点的全体成一零测集，因此黎曼可积函数是几乎处处连续的。

有限区间上的连续函数是可测函数，由鲁津定理，若f(x) 是可测集E上几乎处处有限的可测函数，则对任意的 δ ＞０ ，存在闭子集使得f(x)在闭子集上是连续函数。

因此，可测集上几乎处处有限的可测函数基本上是连续的，从而黎曼可积函数必是勒贝格可积的。

由于开集生成的Borel集均是可测集，而有限区间都是Borel集，从而是可测集。

事实上，可测集上的有界函数和单调函数均是勒贝格可积的，因此，勒贝格积分极大地扩展了可积函数类。

积分与极限次序的交换在分析学中，经常遇到交换两种极限过程的次序，尤其是积分和函数列极限的交换。

关于黎曼积分与勒贝格积分和函数列极限次序的交换有如下结论。

由此可知，对于积分与极限运算的次序交换问题。

在黎曼积分意义下，通常都是用函数列的一致收敛条件来保证积分与极限运算的次序可以交换。

而在勒贝格积分意义下，由勒贝格控制收敛定理可知， 只要很弱的条件就可交换积分与极限运算的次序。

可积函数空间的完备性微积分基本定理黎曼积分运算不完全是微分运算的逆运算，微分和积分之间的关系是微积分学的中枢：设f(x)在[a,b]上可微且f‘(x)在 [a,b]上可积，则有这就是说，先对f(x)进行微分运算再通过积分得到 f(x) 。

显然，要使得微积分基本定理成立，f'(x)必须是可积的。

然而早在1881 年，volterra就给出了一个可微函数，其导数是有界的，但不是黎曼可积的。

对于这样的函数，微积分基本定理不成立，这就说明黎曼积分运算部分的是微分运算的逆运算。

此外，需要指出的是：(1)黎曼积分对积分区域仅具有有限可加性，而勒贝格积分不仅具有有限可加性还具有万方数据可数可加性。

（２）若f(x) 在[a,b]上黎曼可积，则f(x) 在[a,b]上勒贝格可积且积分值相同。

对于非负函数勒贝格积分也是黎曼反常积分的推广，但是在一般情况下， 勒贝格积分不是黎曼反常积分的推广。

如