开普勒第三定律如何证明？
2023-09-17
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证明：）
如果我们知道公转轨道面的面积，就能求出周期：）
所以我们需要推导椭圆的面积公式，这个应该是比较简单的，在这里简单写一下。）
我们假设 ，所以椭圆的面积即为：）
查一下积分表，得到：）
然后我们再求掠面速度的含有半长轴 的表达式。）
我们分别选取两个相等的 ，并且使它们分别包含行星经过远日点和近日点的时刻，此时我们可以近似地认为行星在这两段时间内的速度分别为 和 。由开普勒第二定律可知，掠面速度大小恒定：）
又因为此时 且 ，所以上式可以简化为：）
而我们又注意到行星在由近日点运动到远日点的过程中，其机械能守恒，即动能和引力势能的和是定值，所以有：）
联立 解得：）
我们由几何关系以及椭圆的性质可以得到：）
进一步推出：）
所以掠面速度为：）
代入 得：）
所以周期为：）
显然，经过整理，我们就能得到：）
即开普勒第三定律：）
其实我们还可以进一步推出 和 之间的比例系数：）
显然这是个常数。
